Вычислительная геометрия

-- Получение знака параметра
-- Возвращает -1,0,1 (интересная механика, возвращает bool, но получаем на выходе int)
function math.sign(value)
    return value < 0 and -1 or value > 0 and 1 or 0
end

--округление в большую/меньшую сторону
--в большую: 0.5 => 1.0 or 0.3 => 0.0
--в меньшую: -0.5 => -1. or -0.3 => 0.0
function RoundEx(num)
  local inv = math.floor(math.abs(num) + 0.5)
    return num < 0 and inv * -1 or inv
end

function round(x, n)
    n = math.pow(10, n or 0)
    x = x * n
    if x >= 0 then x = math.floor(x + 0.5) else x = math.ceil(x - 0.5) end
    return x / n
end

--конверт float в integer
--по факту отсекает/отбрасывает дробную часть
--а можно использовать math.tointeger(float)
function toint(n)
    local s = tostring(n)
    local i, j = s:find('%.')
    if i then
        return tonumber(s:sub(1, i-1))
    else
        return n
    end
end

--наибольший общий делитель между a,b gcd>0
function gcd(a, b)
	return b==0 and a or gcd(b,a%b)
end
--наибольший общий делитель между a,b,c
function nod(a, b, c)
	return gcd(gcd(a,b),c)
end
print(gcd(54,24)) --Ответ: 6
print(nod(2,-64, 512)) --Ответ: 2

-- Наибольший общий делитель НОД
-- реализация алгоритма Евклида
function gcd(a, b)
  if b == 0 then
    return a
  end
  return gcd(b, a % b)
end

-- Наименьшее общее кратное НОК
-- связь с НОД (вычисление через НОД)
function lcm(a, b)
  return math.abs(a * b) / gcd(a, b)
end

-- НОК для массива чисел
function lcm_array(arr)
  -- Если количество элементов в массиве меньше 2, то
  -- прои кол.ел. == 0 возвращается nil
  -- а при кол.ед == 1 возвращается первый элемент
  if #arr < 2 then
    return arr[1]
  end
  -- идея заключается в использовании свойства ассоциативности
  res = arr[1]
  for i = 2, #arr do
    res = lcm(res, arr[i])
  end
  return res
end

-- Тест 1
A = { }
print(lcm_array(A)) --Ответ: nil
-- Тест 2
A = { 5 }
print(lcm_array(A)) --Ответ: 5
-- Тест 3
A = { 2, 3 }
print(lcm_array(A)) --Ответ: 6
-- Тест 4
A = { 2, 3, 4 }
print(lcm_array(A)) --Ответ: 12
-- Тест 5
A = { 5, 4, 20, 2 } 
print(lcm_array(A)) --Ответ: 20
-- Тест 6
A = { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 }
print(lcm_array(A)) --Ответ: 185640

function ascii2decimal(str)
    str = string.reverse(str)
    local result = 0
    local pw = 1
    for i=1, #str do
        local c = str:sub(i,i)
        result = result + string.byte(c)*pw
        pw = pw*256
    end
    return result
end

--найти середину между 3 числами
function math.mid(a,b,c,onlyMiddle)
	local Max = math.max(a,b,c)
	local Min = math.min(a,b,c)
	local Middle
	if Max > a and Min < a then
		Middle = a
	elseif Max > b and Min < b then
		Middle = b
	else
		Middle = c
	end
	if onlyMiddle then
		return Middle
	end
	return Max,Middle,Min
end

function PointTurn(x,y,a)
	local c,s=math.cos(a),math.sin(a)
	local x1= x*c - y*s
	local y1= x*s + y*c
	return x1,y1
end
print(PointTurn(1,0,1.5707963267948966)) --Ответ: 0.0 1.0. Вместо ноль может выдать 6.1232339957368e-17, ничего страшного, это 0.000000...0612

--Поворот точки против часовой стрелки вокруг другой точки
function turnof(x,y,alpha,cx,cy)
	local tx,ty=PointTurn(x-cx,y-cy,alpha)
    tx = tx+ cx;
    ty = ty+ cy;
    return tx,ty
end
--поворот вектора
function PointTurnVector(x1,y1,x2,y2,a)
	local c,s=math.cos(a),math.sin(a)
	local vx,vy=x2-x1,y2-y1
	local px= vx*c − vy*s
	local py= vx*s + vy*c
	return px,py
end

function NormalVectorLine(a,b,c)
	return a,b
end
function ParallelVectorLine(a,b,c)
	return -b,a
end

Вектор нормали (перпендикулярный).

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Уравнение вид а называется общим уравнением прямой на плоскости. При различных численных значениях A, B и C, в том числе нулевых, оно может определять всевозможные прямые без исключения.

Одна из фундаментальных задач аналитической геометрии - составление общего уравнения прямой по точке, ей принадлежащей, и вектору нормали.

Вектор нормали - это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: n(n1,n2). Координаты точки - и .

Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:

n1*(x-x0) + n2*(y-y0)=0 (1).

1.2 Уравнение прямой, заданной одной из ее точек вектором и вектором нормали к ней

Пусть заданная точка P0 прямой имеет координаты (x0,y0), а некоторый вектор нормали n к ней (то есть вектор, оторгональный нашей прямой) - координаты (a,b).
Если P(x,y) - произвольная точка на нашей прямой, то координаты вектора P0P равны (x-x0,y-y0). Тогда скалярное произведение векторов можно выразить так:
(n,P0P)=a*(x-x0)+b*(y-y0)=0 (6)

Очевидно, что уравнение прямой (6) также несложно привести к виду (4).
Напомню формулу
ax+by+c=0 (4)
где a = y2-y1, b=x1-x2, c=x1*(y1-y2) + y1*(x2-x1)

Тогда становится понятно, что коэффициенты a и b из уравнения (4) представляют собой координаты одного из векторов нормали к описываемой данным уравнением прямой. Отсюда и следует, что при любых значениях коэффициентов a,b, и с (кроме a=b=0) уравнение (4) задает прямую. Ею будет прямая перпендикулярная вектору (a,b) и проходящая через точку, чью координаты удотвлетворяют (4). При a≠0 такой точкой будет, например точка (-c/a,0), при a=0 - точка (0,b/c).
пример:

Несмотря на то, что постановка задачи на первый взгляд кажется несколько искусственной, именно с помощью ее получили инструмент для решения целого ряда задач.

примеры

Пример 1. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку M(-3,5) и вектор нормали к ней n(2,-8).

Решение. Используя формулу (1), получаем:
2(x+3)-8(y-5)=0
2x+6-8y+40=0
x-4y+23=0

Из примера 1 видно, что координаты вектора нормали пропорциональны числам A и B из общего уравнения прямой на плоскости. Это не совпадение, а закономерность! Поэтому в общем случае, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то вектор нормали к прямой можно записать так: n(A,B).

---

Пример 2. Задано общее уравнение прямой на плоскости: 3x+11y-4=0. Записать вектор нормали к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении A=3, B=11. Поэтому вектор нормали запишется:
n(3,11).

направляющий вектор (параллельный вектор)

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Если вектор нормали перпендикулярен искомой прямой, то направляющий вектор параллелен ей. Направляющий вектор обычно записывается так: p(p1,p2). Имеет место следующая зависимость координат направляющего вектора от чисел A и B общего уравнения прямой: p(-B,A).

Общее уравнение прямой по точке M0(x0,y0) и направляющему вектору можно составить по формуле

(x-x0)/p1 = (y-y0)/p2, (2)
известной как каноническое уравнение прямой на плоскости.

примеры

Пример 3. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку M0(-2,3) и её направляющий вектор p=(4,5).

Решение. Используя формулу (2), имеем:
(x+2)/4 = (y-3)/5

Далее путём преобразований получаем:
x/4 + 1/2 = y/5 - 3/5
x/4 - y/5 + 1/2 + 3/5 = 0
5x/20 - 4y/20 + 10/20 + 12/20 = 0
5x - 4y + 22 = 0

На всякий случай сделаем проверку - подставим в полученное общее уравнение прямой координаты точки, которая должна ей принадлежать:
-10-22+22 = 0

Получили верное равенство. А координаты вектора связаны с числами A и B уравнения закономерностью p(-B,A). Значит, задание выполнено корректно.

---

Пример 4. Задано общее уравнение прямой на плоскости: 7x-4y+3=0. Записать направляющий вектор к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении A=7, B=-4. Поэтому направляющий вектор запишется: p(4,7).

Решая задачи контрольных работ, особенно, если задач много и к концу контрольной студент стремится наверстать упущенное за время обдумывания заданий, можно запутаться в знаках, записывая вектор нормали и направляющий вектор. Будьте внимательны!

function PerpendicularLines(x,y,x0,y0,x1,y1,x2,y2)
	return (x2-x1)*(x-x0) + (y2-y1)*(y-y0)==0
end

print(PerpendicularLines(5,1,5,0,0,0,10,0)) --печает true. P0 лежит на прямой P1P2
print(PerpendicularLines(5,1,5,1,0,0,10,0)) --P0 изменена, теперь не лежит на прямой P1P2, но все равно выводит true. что приводим к выводу, что происходит определение пересечения двух прямых, созданными векторами P0P и P1P2
print(PerpendicularLines(3,1,5,1,0,0,10,0)) --P изменена, теперь не принадлежит прямой P0P. печается false

function PerpendicularLines2(x,y,x0,y0,x1,y1,x2,y2)
	return (x2-x1)*x + (y2-y1)*y + (x2-x1)*x0 + (y2-y1)*y0==0
end

print(PerpendicularLines2(5,1,5,0,0,0,10,0)) --печает true. P0 лежит на прямой P1P2
print(PerpendicularLines2(5,1,5,1,0,0,10,0)) --P0 изменена, теперь не лежит на прямой P1P2, но все равно выводит true. что приводим к выводу, что происходит определение пересечения двух прямых, созданными векторами P0P и P1P2
print(PerpendicularLines2(3,1,5,1,0,0,10,0)) --P изменена, теперь не принадлежит прямой P0P. печается false

function ParallelLines(x,y,x0,y0,x1,y1,x2,y2)
	return (y2 - y1)*(x - x0) == (y - y0)*(x2 - x1)
end

print(ParallelLines(2,1,4,1,2,4,4,4)) --печает true
print(ParallelLines(2,0,4,1,2,4,4,4)) --печает false

function ParallelLines(a1,b1,a2,b2)
	return (a1 * b2 - a2 * b1) == 0
end

function IsVectorsParallel(x1,y1,x2,y2)
	return x1*(y1-y2) + y1*(x2-x1)==0 --выполняется ли условие коллинеарности двух векторов 6 опер
end

--функция определения точки относительно отрезка
--Определяется так. Предположим, у нас есть 3 точки: А(х1,у1), Б(х2,у2), С(х3,у3). Через точки А и Б проведена прямая. И нам надо определить, как расположена точка С относительно прямой АБ. Для этого вычисляем значение:
-- Если D = 0 - значит, точка С лежит на прямой АБ.
-- Если D < 0 - значит, точка С лежит слева от прямой.
-- Если D > 0 - значит, точка С лежит справа от прямой.
function WherePoint(x1,y1,x2,y2,px,py)
    return (px - x1) * (y2 - y1) - (py - y1) * (x2 - x1) --8 опер
end

print(WherePoint(0,0,1,1,2,2)==0) --вернет true

--функция определения точки относительно вектора
--Q < 0 - точка справа (по часовой), Q > 0 - точка слева (против часовой)
local function Q(ax, ay, bx, by, atx, aty)
	return atx * (by - ay) + aty * (ax - bx) + ay * bx - ax * by
end

function WherePoint(x1,y1,x2,y2,px,py)
    return (px - x1) * (y2 - y1) - (py - y1) * (x2 - x1) --8 опер
end

--где x1,y1,x2,y2 - отрезок, определяющий направление прямой
--p1 и p2 - две точки, нужно определить как они расположены
function WhereTwoPointOnLine(x1,y1,x2,y2,p1x,p1y,p2x,p2y)
	return WherePoint(x1,y1,x2,y2,p1x,p1y)*WherePoint(x1,y1,x2,y2,p2x,p2y)>0
end

print(WhereTwoPointOnLine(0,0,0,100,-300,0,300,0))
print(WhereTwoPointOnLine(0,0,0,100,200,0,300,0))

--
function WhereTwoPointsLine(x1,y1,x2,y2,a,b,c)
	return x1*b + y1*a>=0 and x2*b + y2*a>=0
end
print(WhereTwoPointsLine(0,0,2,4,2,-1,-1)) --true
--составлено уравнение из точек (1,1),(5,1) -> x-1=0 или 1,0,-1
print(WhereTwoPointsLine(1,5,1,-5,1,0,-1)) -- -> false
print(WhereTwoPointsLine(1,5,1,5,1,0,-1)) -- -> true

--совпадающие линии - это одна и та же линия, только описана разными уравнениями
function MatchingLines(a1,b1,c1,a2,b2,c2)
	
	--коллинеарны ли линии
	if(a1 * b2 - a2 * b1) == 0 then
	    --проверка совпадают ли они
		return (a1 * b2 == b1 * a2 and a1 * c2 == a2 * c1 and b1 * c2 == c1 * b2)
	end
	return false
end
print(MatchingLines(1,2,3,-1,-2,-3))

--(ax1,ay1),(ax2,ay2) - точки прямой линии a
--(bx1,by1),(bx2,by2) - точки прямой линии b
function MatchingLines(ax1,ay1,ax2,ay2, bx1,by1,bx2,by2)
	--составляем коэффициенты уравнения прямой ax1+by1+c1=0
	local a1,b1=ay2-ay1,ax1-ax2
	local c1=ax1*(ay1-ay2)+ay1*(ax2-ax1)
	--составляем коэффициенты уравнения прямой ax2+by2+c2=0
	local a2,b2=by2-by1,bx1-bx2
	local c2=bx1*(by1-by2)+by1*(bx2-bx1)
	
	--коллинеарны ли линии
	if(a1 * b2 - a2 * b1) == 0 then
	    --проверка совпадают ли они
		return (a1 * b2 == b1 * a2 and a1 * c2 == a2 * c1 and b1 * c2 == c1 * b2)
	end
	return false
end

--вектор нормали (перпендикулярный)
function NormalVectorLine(a,b,c)
	return a,b
end

function PerpendicularLine(x1,y1,a,b,c)

	--снимаем вектор нормали из ax+by+c=0
	local x2,y2=NormalVectorLine(a,b,c)
	
	--уравнение составим по точке x1,y1 и направляющему вектору x2,y2
	
	--уравнение перпендикулярной линии ax1+by1+c1=0 
	local a1,b1,c1 = (y2-y1),(x1-x2),a*(y2-y1)+b*(x2-x1)
	
    --проверка, что линия перпендикулярна
	local p = a1*(x2-x1) + b1*(y2-y1)
	if p==0 then 
	    print("перпедикулярны "..p)
	else
	    print("не перпедикулярны "..p)
	end
	
	return a1,b1,c1
end
function LinesIntersect(a1,b1,c1, a2,b2,c2)
	local x = (b1 * c2 - b2 * c1) / (a1 * b2 - a2 * b1);
	local y = (a2 * c1 - a1 * c2) / (a1 * b2 - a2 * b1);
	return x,y
end
function PointOnLine(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return(x - x1) * (y2 - y1) - (y - y1) * (x2 - x1)==0
end
function SymmetricalPointAboutLine(x,y,a,b,c)
	--Находим прямую line 2, которая перпендикулярна текущей прямой line 1.
	local a1,b1,c1=PerpendicularLine(x,y,a,b,c)
	--точка пересечения прямых
	local x0,y0=LinesIntersect(a1,b1,c1, a,b,c)
	--теперь находим симметричную точку, как известно x0,y0 - середина точки
	local px,py=2*x0-x,2*y0-y
	
	if PointOnLine(px,py,x0,y0,x,y) then
		print('симметричная точка px,py принадлежит прямой line 2')
	else
		print('симметричная точка px,py не принадлежит прямой line 2')
	end
	--проверяем одинаковы ли отрезки
	if ((x-x0)^2+(y-y0)^2)^0.5 == ((px-x0)^2+(py-y0)^2)^0.5 then
		print('длины отрезков одинаковы, координаты px,py верны')
	else
		print('длины отрезков не равны, координаты px,py не верны')
	end
	return px,py
end
print(SymmetricalPointAboutLine(-1,1,3,4,-12))

1.4 Уравнение прямой, параллельной данной и находящейся от нее на заданном расстоянии r.

Очевидно, что искомых прямых две. Вектор нормали к исходной прямой оторгонален к каждой из параллельных прямых. Значит, коэффициенты a и b при x и y в уравнении (4) для параллельных прямых можно взять такими же как и у исходной прямой.

Напомню формулу
ax+by+c=0 (4)
где a = y2-y1, b=x1-x2, c=x1*(y1-y2) + y1*(x2-x1)

Остается подобрать значение для третьего из коэффициентов. Обозначим его для одной прямой c1, для второй c2. Как было выше показано, для определения этих коэффициентов достаточно знать хотя бы по одной точке из кажой прямой.

Возьмем произвольную точку P(x0,y0) на исходной прямой (если прямая задана была не двумя точками, то точку можно найти по рецепту, предложенную в конце 1.2).

(n,P0P)=a*(x-x0)+b*(y-y0)=0 (6)

Проведем через нее прямую, перпендикулярной данной прямой.

На параллельной же прямой будет искать точку M (x1,y1) ее пересечения с этим перпендикуляром.

Нам известен один ветор нормали n=(a,b). Вектор PM коллинеарен ему, а его длина равна r. Для определенности будем считать, что как и на рисунке, нормаль лежит по ту же сторону от прямой, что и точка M.

Тогда PM = n *r / sqrt(a^2 + b^2).
Значит, координаты точки M равны
x1=x0+a*r / sqrt(a^2 + b^2)
y1=y0+b*r / sqrt(a^2 + b^2)

Подставляем их в уравнение (6), получаем
c1=-ax0 -by0 -r*sqrt(a^2 + b^2)

Уравнение одной из прямой получено. В качестве вектора нормали для другой прямой можно использовать вектор PM.
c2=-ax0 -by0 +r*sqrt(a^2 + b^2)

function FindParallelLine(a,b,c,r)
	--находим произвольную точку
	local x0,y0=1,1
	local x=x0+a*r / math.sqrt(a^2 + b^2)
	local y=y0+b*r / math.sqrt(a^2 + b^2)
	
	if a~=0 then
    	return a,b,-a*x0 -b*y0 -r*math.sqrt(a^2 + b^2)
    else
    	return a,b,-a*x0 -b*y0 +r*math.sqrt(a^2 + b^2)
    end
end
print(FindParallelLine(0,-1,1,1))

function EquationCoefficients(Px,Py,Qx,Qy)
	local A,B = Qy-Py, Px-Qx
	C = -(A*Px + B*Py)
	return A,B,C
end

function WhereTwoPointsLine(x1,y1,x2,y2,a,b,c)
	return x1*b + y1*a>=0 and x2*b + y2*a>=0
end

function BissectorAngleInTriangle(x0,y0,x1,y1,x2,y2)
	--составить уравнение прямой e1
	local a1,b1,c1=EquationCoefficients(x0,y0,x1,y1)
	--составить уравнение прямой e2
	local a2,b2,c2=EquationCoefficients(x0,y0,x2,y2)
	
	
	local p1,p2=(a1^2+b1^2)^0.5,(a2^2+b2^2)^0.5
	
	a1,b1,c1 = a1*p2,b1*p2,c1*p2
	a2,b2,c2 = a2*p1,b2*p1,c2*p1
	
	--получаем две биссектриссы
	local a3,b3,c3=a1+a2,b1+b2,c1+c2
	local a4,b4,c4=a1-a2,b1-b2,c1-c2
	
	--найти среди них внутреннюю биссектрису
	if not WhereTwoPointsLine(x1,y1,x2,y2,a3,b3,c3) then
	    return a3,b3,c3
	else
	    return a4,b4,c4
	end
	return false
	
end

print(BissectorAngleInTriangle(1,1,1,0,0,1)) -- Ответ: -1,1,0
print(BissectorAngleInTriangle(-5,4,7,-1,3,10)) --Ответ: 1,-8,37

--наименьший общий делитель между a,b gcd>0
function gcd(a, b)
	return b==0 and a or gcd(b,a%b)
end
--наименьший общий делитель между a,b,c
function nod(a, b, c)
	return gcd(gcd(a,b),c)
end

function EquationIntCoefficients(Px,Py,Qx,Qy)
	--находим коэ-ты уравнения
	local A,B = Py-Qy, Qx-Px
	local C = -A*Px - B*Py
	--далее нормируем коэ-ты
	
	--находим наибольший общий делитель 3 чисел
	local Z = nod(A,B,C)
	
	--коэф-ты делить на НОД
	A,B,C=A/Z,B/Z,C/Z
	
	--произведем нормировку знака
	if A<0 or (A==0 and B<0) then
		return -A,-B,-C
	end
	return A,B,C
end

function EquationCoefficients(Px,Py,Qx,Qy)
	local A,B = Qy-Py, Px-Qx
	C = -(A*Px + B*Py)
	return A,B,C
end
function WhereTwoPointsLine(x1,y1,x2,y2,a,b,c)
	return x1*b + y1*a>=0 and x2*b + y2*a>=0
end

--биссектрисса угла. может выходить с погрешностями, не уверен в правильности
function bissector(x0,y0,x1,y1,x2,y2)
	--составить уравнение P0P1
	local a1,b1,c1=EquationCoefficients(x0,y0,x1,y1)
	--составить уравнение P0P2
	local a2,b2,c2=EquationCoefficients(x0,y0,x2,y2)
    --параметр единичного вектора
    local p = math.abs(a1)/(a1^2+b1^2)^0.5 + math.abs(a2)/(a2^2+b2^2)^0.5

	--находим две биссектриссы
    local a3,b3,c3=(a1+a2)*p,(b1+b2)*p,(c1+c2)*p
	local a4,b4,c4=(a1-a2)*p,(b1-b2)*p,(c1-c2)*p

	if not WhereTwoPointsLine(x1,y1,x2,y2,a3,b3,c3) then
		return a3,b3,c3
	else
		return a4,b4,c4
	end
		
	return false
end

print(bissector(1,1,1,0,0,1)) --1	1	0.0
print(bissector(-5,4,7,-1,3,10)) --1 -8 37

--проверяем на коллинеарность, и что точка лежит на линии
function PointOnLine(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return(x - x1) * (y2 - y1) - (y - y1) * (x2 - x1)==0
end
print(PointOnLine(0,0,0,1,0,2))
print(PointOnLine(0,0,1,1,1,2))

EPS = 1E-9;
function pointOnLine(x,y,a,b,c)
	return a*x + b*y + c <= EPS
end

--если три вектора-точки лежат на одной прямой
function IsThreeVectorsCollinear(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return (x-x1)*(y2-y1)-(y-y1)*(x2-x1)==0 --8 опер
end
--если три вектора сонаправлены dx1*dx2 + dy1*dy2 > 0
--эта функция использует для принадлежности точки M(x,y) лучу P1(x1,y1),P2(x2,y2)
--проверка идет между P1M и P1P2
function IsThreVectorsCodirectional(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return (x-x1)*(x2-x1) + (y-y1)*(y2-y1) > 0 --8 опер
end

--точка принадлежит лучу (соблюдает 2 условия)
--векторы коллинеарны - лежат на одной прямой
--скаляр векторов [P1M,P1P2]  > 0 - сонаправлены. луч имеет начало x1,y1, поэтому от этой точки строится уравнение
function IsPointOnBeam(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return IsThreeVectorsCollinear(x,y,x1,y1,x2,y2) and IsThreVectorsCodirectional(x,y,x1,y1,x2,y2) --8+8+3=19 опер
end

print(IsPointOnBeam(1,6,3,7,5,8)) -- вернет false
print(IsPointOnBeam(3,3,1,2,5,4)) -- вернет true

function IsPointOnBeam2(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return ((x-x1)*(y2-y1) == (x2-x1)*(y-y1)) and ((x-x1) * (x2-x1) >= 0) and ((y-y1)*(y2-y1) >= 0)
end

print(IsPointOnBeam2(1,6,3,7,5,8)) --вернет false

function IsPointInSegment(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return((x1-x)^2+(y1-y)^2)^0.5 + ((x2-x)^2+(y2-y)^2)^0.5 == ((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^0.5 
end

print(IsPointInSegment(15,0,100,0,200,0)) -- false
print(IsPointInSegment(0,150,0,100,0,200)) -- true

function PointInRect(x,y,x1,y1,x2,y2)
    local minx,miny=math.min(x1,x2),math.min(y1,y2)
    local maxx,maxy=math.max(x1,x2),math.max(y1,y2)
    
    return (minx<=x and x<=maxx) and (miny<=y and y<=maxy)
end

print(PointInRect(15,0,100,0,200,0)) -- false
print(PointInRect(0,150,0,100,0,200)) -- true

-- Vec2 is a simple x/y struct - it could very well be named Point for this use
function isBetween(a,b,c)
    local larger,smaller
	--return if c is between a and b
	if(a >= b)then larger=a else larger=b end
	if(a ~= larger)then smaller=a else smaller=b end
    return c <= larger and c >= smaller;
end

function pointOnLine(x,y,x1,y1,x2,y2)
    if(x2-x1 == 0)then return isBetween(y1,y2,y); end --vertical line
    if(y2-y1 == 0)then return isBetween(x1,x2,x); end --horizontal line

    local Ax = (x - x1) / (x2 - x1);
    local Ay = (y - y1) / (y2 - y1);

    -- We want Ax == Ay, so check if the difference is very small (floating
    -- point comparison is fun!)
    return math.abs(Ax - Ay) < 0.000001 and Ax >= 0.0 and Ax <= 1.0;
end

print(pointOnLine(15,0,100,0,200,0)) -- false
print(pointOnLine(0,150,0,100,0,200)) -- true

--если три вектора-точки лежат на одной прямой (коллинеарны)
function IsThreeVectorsCollinear(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return (x-x1)*(y2-y1)-(y-y1)*(x2-x1)==0 --8 опер
end

--если три вектора сонаправлены dx1*dx2 + dy1*dy2 > 0
--эта функция использует для принадлежности точки M(x,y) отрезку P1(x1,y1),P2(x2,y2)
--проверка идет между MP1 и MP2
function IsThreVectorsCodirectional2(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return (x-x1)*(x-x2) + (y-y1)*(y-y2) < 0 --8 опер
end

--точка принадлежит отрезку (соблюдает 2 условия)
--векторы коллинеарны - лежат на одной прямой
--скаляр векторов [MP1,MP2]  > 0 - сонаправлены. луч имеет начало x1,y1, поэтому от этой точки строится уравнение
function IsPointOnSegment(x,y,x1,y1,x2,y2)
	return IsThreeVectorsCollinear(x,y,x1,y1,x2,y2) and IsThreVectorsCodirectional2(x,y,x1,y1,x2,y2)
end

print(IsPointOnSegment(1,6,3,7,5,8)) -- вернет false
print(IsPointOnSegment(3,3,1,2,5,4)) -- вернет true

--угол лежит между двумя углами
function IsAngleBetweenAngles(angle,angle1,angle2)
	N = angle%360 --normalize angles to be 1-360 degrees
	a = angle1%360
	b = angle2%360

	if (a < b)then
		return a <= N and N <= b;
	else
		return a <= N or N <= b;
	end
end

print(IsAngleBetweenAngles(150, 80, 320)) --=> true
print(IsAngleBetweenAngles(30, 80, 320)) --=> false
print(IsAngleBetweenAngles(340, 80, 320)) --=> false
print(IsAngleBetweenAngles(140, 0, 160)) --=> true
print(IsAngleBetweenAngles(180, 0, 160)) --=> false
print(IsAngleBetweenAngles(1, 0, 360)) --=> true

function AngleBetween(a,b)
    local a = (math.modf(b)-math.modf(a)) % 360;
    if a==0 then
        return 360
    end
    return a
end
function IsInsideRange(testAngle,startAngle,endAngle)
    local a1 = math.abs(AngleBetween(startAngle, testAngle));
    local a2 = math.abs(AngleBetween(testAngle, endAngle));
    local a3 = math.abs(AngleBetween(startAngle, endAngle));
    print(a1,a2,a3)
    return a1 + a2 == a3;
end

print(IsInsideRange(150, 80, 320)) --=> true
print(IsInsideRange(30, 80, 320)) --=> false
print(IsInsideRange(340, 80, 320)) --=> false
print(IsInsideRange(140, 0, 160)) --=> true
print(IsInsideRange(180, 0, 160)) --=> false
print(IsInsideRange(1, 0, 360)) --=> true

--определяет лежит ли угол между двумя углами
function IsAngleBetweenAngles(angle,angle1,angle2)
    angle = angle%360
    angle1 = angle1%360
    angle2 = angle2%360
    if (angle1>angle2) then
        angle1,angle2 = angle2,angle1
    end
    if (angle2-angle1) > (angle1 - (angle2-360)) then
        angle2 = angle2 - 360
        if angle > 180 then
            angle = angle-360
        end
        return angle >= angle2 and angle <= angle1
    end
    return (angle >= angle1) and (angle <= angle2)
end

-- минимальный промежуток угла
function is_angle_between(target,angle1,angle2) 
	--make the angle from angle1 to angle2 to be <= 180 degrees
	local rAngle = ((angle2 - angle1) % 360 + 360) % 360;
	if (rAngle >= 180)then
		angle1,angle2=angle2,angle1
    end
	-- check if it passes through zero
	if (angle1 <= angle2)then
		return target >= angle1 and target <= angle2;
	else
		return target >= angle1 or target <= angle2;
	end
end

print(is_angle_between(150, 80, 320)) --=> false
print(is_angle_between(30, 80, 320)) --=> true
print(is_angle_between(340, 80, 320)) --=> true
print(is_angle_between(140, 0, 160)) --=> true
print(is_angle_between(180, 0, 160)) --=> false
print(is_angle_between(1, 0, 360)) --=> true