Вот скора сессия, сел я разбираться в мат.анализе и многое не понятно.. открыл учебник, полистал, практически ничего не понял... вот один из примеров:

Получаеться что любое выражение du=u' ? если ето так то станоситьяс понятно откуда те выражения, но становиться непонятно куда же делось dx?

биг спс, эту стадию я понял, но последняя всё ещё остаёться для меня загадкой:
1/7 ~(cos(7x-3) * d(7x-3)
получаеться что это выражение равно:
1/7*sin(7x-3)*7 + C
но в примере дан ответ без *7
всё что стоит после символа d не считаеться?

Да, u можно брать любую. Подставили для того, чтобы найти интеграл.
~cos(x)dx вычислить легко (табличный интеграл), а вот
~cos(7x-3)dx требуется привести к табличному виду. Что и было сделано.
Вот пример:
~(sin(ln x)/x)dx - вот как тут вычислить? Если бы было sin(ln x)d(ln x), то всё бы вычислилось. Делаем так:
d(ln x)=(1/x)dx, отсюда
~(sin(ln x)/x)dx = ~sin(ln x)d(ln x) = -cos(ln x) + c

Алексей добавил:
Это ещё ерунда ;). Вот дальше... Метод интегрирования по частям, интегрирование рациональных дробей, тригонометрических выражений, универсальная тригонометрическая подстановка, перевод в эллиптические координаты и ряд других "продвинутых" методов - это будет понять сложнее.

это я понял, а вот следущее нет:

то что ~sin(ln X) = -cos(ln X) я понял, это формула, но тут же ещё есть d(ln x) его опять нету в ответе...

Ну тебя же не удивляет, что в
~sin x dx = -cos x +c
в ответе нет dx. Так почему же удивляет отсутствие d(lnx)? По окончании интегрирования знак дифференциала бесследно исчезает.

Алексей добавил:
См. винимательнее формулу. Там стоит не ~sin x = -cos x+c, а именно
~sin(x)dx = - cos x +c,
т.е. dx входит в саму формулу и исчезает согласно ей.

удивляет =) то есть при вычислениии интеграла все мнодители которые первым символом имеют d бесследно исчезают? Я правилоьно понял? если ето так то это сильно уменьшит мою головную боль!

ScorpioN Trak добавил:
я в ауте... моя голова кипит... вот неразбериха.. короче вот вопрос:

это стандартный пример... а почему етот

нестандартный? ведь решили мы его когда DX заменили на D(7x-3), и после этого пример стал "легко решаться", чем dx сложнее чем d(7x-3)?
(я не спорю а пытаюсь разобраться =( )

Ну, дифференциалы не то чтобы исчезают - они деваются туда же, куда и сам значок интеграла ;).
Можешь считать, что они действительно исчезают в процессе интегрирования (так же, как знак корня исчезает при возведении в квадрат).
Второй пример ещё нужно приводить к табличному виду, тогда как первый - уже табличный.

Алексей добавил:
Вижу, не получится из меня учителя :(. Подождём NETRAT'а - может, он объяснит попонятнее.

так почему же мы ентот пример

котрый не являеться табличным смогли решить откинув d(7x-3)
а вот его начало

который, на мой взгляд, куда более обычный не смогли решить просто откинуы dx?

площадь фигуры вроде

если загруть палку ввиде интеграла можно достать трудно удалённые предметы =)
а если серьёзно то ты прав я понял что такое интеграл, но до конца не разобрался =)

тогда получаеца что cos(7x-3)d(7x-3) ето табличный интеграл?

да, в этом случае вводится замена y = 7x-3 и ты получаешь табличный интеграл от cos(y)dy который равен -sin(y)
то есть внесение под знак дифференциала - это сведение к замене переменных, к упрощению твоего выражения
разумеется, как и в любой другой замене переменных, нужно делать обратную подстановку и заменить y на 7x-3, получаем -sin(7x-3)