Поиск в глубину
Это один из основных алгоритмов на графах.

В результате поиска в глубину находится лексикографически первый путь в графе.

Алгоритм работает за O(N+M).

• Поиск любого пути в графе.
• Поиск лексикографически первого пути в графе.
• Проверка, является ли одна вершина дерева предком другой:

В начале и конце итерации поиска в глубину будет запоминать "время" захода и выхода в каждой вершине. Теперь за O(1) можно найти ответ: вершина i является предком вершины j тогда и только тогда, когда starti < startj и endi > endj.

• Задача LCA (наименьший общий предок).
• Топологическая сортировка:

Запускаем серию поисков в глубину, чтобы обойти все вершины графа. Отсортируем вершины по времени выхода по убыванию - это и будет ответом.

• Проверка графа на ацикличность и нахождение цикла
• Поиск компонент сильной связности:

Сначала делаем топологическую сортировку, потом транспонируем граф и проводим снова серию поисков в глубину в порядке, определяемом топологической сортировкой. Каждое дерево поиска - сильносвязная компонента.

• Поиск мостов:

Сначала превращаем граф в ориентированный, делая серию поисков в глубину, и ориентируя каждое ребро так, как мы пытались по нему пройти. Затем находим сильносвязные компоненты. Мостами являются те рёбра, концы которых принадлежат разным сильносвязным компонентам.

vector < vector<int> > g; // граф
int n; // число вершин

vector<int> color; // цвет вершины (0, 1, или 2)

vector<int> time_in, time_out; // "времена" захода и выхода из вершины
int dfs_timer = 0; // "таймер" для определения времён

void dfs (int v) {
	time_in[v] = dfs_timer++;
	color[v] = 1;
	for (vector<int>::iterator i=g[v].begin(); i!=g[v].end(); ++i)
		if (color[*i] == 0)
			dfs (*i);
	color[v] = 2;
	time_out[v] = dfs_timer++;
}

Это наиболее общий код. Во многих случаях времена захода и выхода из вершины не важны, так же как и не важны цвета вершин (но тогда надо будет ввести аналогичный по смыслу булевский массив used). Вот наиболее простая реализация:

vector < vector<int> > g; // граф
int n; // число вершин

vector<char> used;

void dfs (int v) {
	used[v] = true;
	for (vector<int>::iterator i=g[v].begin(); i!=g[v].end(); ++i)
		if (!used[*i])
			dfs (*i);
}